Unity でディリクレ分布のグラフを描く

Unity の ParticleSystem を使って、3 変量のディリクレ分布のグラフを作成してみました。ウェブブラウザ上で動かせます。

Unity Web Player | unity-dirichlet-distribution

ソースコードはこちらです。
y-uti/unity-dirichlet-distribution · GitHub

三角形の頂点が、それぞれ (x1, x2, x3) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) になります。スライダーを移動することで、パラメータ　αi (i = 1, 2, 3) を変更できます。初期状態ではすべての αi が 1.0 に設定されています。設定できる範囲は、スライダーの左端が 0.1, 右端が 10.0 です。

プログラムの実装にあたって、ガンマ関数の近似計算が必要になります。これは Unity で使える数学関数の中に見つかりませんでしたので、以下のページで公開されているものを Unity の C# スクリプトに書き直して利用しました。
Machined Learnings: Faster LDA

ディリクレ分布は、多項分布の共役事前分布になることが知られており、たとえば、自然言語処理の分野での LDA などに利用されます。先日、第二回機械学習アルゴリズム実装会というイベントに参加して LDA を実装したので、それに合わせて今回のプログラムを作成してみました。
第二回機械学習アルゴリズム実装会 - connpass

なお、勉強会で実装した LDA のプログラムはこちらで公開しています。PHP と Hack で書いてみました。
y-uti/lda · GitHub

LDA では通常、各変数に対応する αi をすべて同一にして対称な分布を仮定しますが、αi をばらばらに動かすことで非対称な分布を作ることもできます。

ディリクレ分布の確率密度関数は xi^(αi - 1) をかけ合わせた形になるので、αi が 1 より大きければ xi について単調増加、αi が 1 より小さければ xi について単調減少になります。すべての αi を 1 未満にすると、各頂点のところで尖った分布になり、多項分布の事前分布として疎な分布を仮定できます。LDA では、文書－トピック分布、トピック－単語分布のそれぞれで疎な分布を仮定したいので、通常はパラメータを 1 未満にします。